Os primeiros passos no controle de sistemas para você conseguir avançar bem

Controle de sistemas é um dos temas mais legais para estudar, mas que costuma intimidar a maioria por exigir muita modelagem matemática, com cálculo diferencial e integral.

A Engenharia de Controle tem como base o princípio da realimentação, com o objetivo de controlar determinadas variáveis de um sistema.

Está muito presente na área elétrica, mas é interdisciplinar e tem aplicações em outras engenharias.

Para ilustrar o problema básico da Engenharia de controle dá para citar um processo industrial simples, como controlar a velocidade de um motor de corrente contínua em uma linha produção industrial.

Queremos que a velocidade do motor, que aciona uma carga, fique constante. Esta velocidade desejada é chamada de referência. A carga pode variar, mas a velocidade deve ficar o mais próximo possível da referência.

Agora lembrando um pouco do que acontece em sala de aula, os alunos costumam encontrar dificuldade nessa disciplina.

São usados muitos modelos matemáticos. Folheando rapidamente os livros utilizados, parecem livros para curso superior em matemática.

Você verá o quanto é interessante o assunto controle de sistemas. Gostaria que seus amigos também soubessem disso? Então compartilhe este artigo:

Continue acompanhando para ler sobre os seguintes temas:

  • Um pouco de história
  • O que é um sistema?
  • Objetivo do controle de sistemas
  • Referência e erro
  • As duas faces do controle de sistemas
  • Noções de modelos matemáticos

Um pouco da história do controle de sistemas

história do controle de sistemas

Foi a revolução industrial no século XVIII, com o desenvolvimento de processos industriais, que deu o impulso ao desenvolvimento das técnicas de controle.

Watt desenvolveu um sistema de controle usando o chamado pêndulo de Watt como sensor de velocidade, que permitia o controle em malha fechada da velocidade, controlando a injeção à vapor em máquinas à vapor.

Às vezes estes sistemas apresentavam um comportamento instável, o que levou a uma pesquisa teórica para compreender esta instabilidade.

Em 1868 Maxwell publicou um artigo analisando o comportamento dinâmico dos sistemas de controle.

Um marco no desenvolvimento da teoria de controle foi a publicação de um trabalho pelo matemático russo A. Lyapunov em 1897.

O início da Segunda Guerra mundial estimulou a pesquisa em sistemas de controle, visando o uso militar. Nos Estados Unidos o MIT foi um centro de desenvolvimento de tais técnicas.

Outros desenvolvimentos se seguiram, inclusive com o aparecimento da técnica do lugar
das raízes, criada por Evans em 1947.

No final dos anos 50 a teoria de controle já tinha boa base de conhecimento. Mas a demanda por novas técnicas impulsionou o desenvolvimento do controle moderno. O nome de R. Kalman aparece com destaque entre os criadores do controle moderno.

Atualmente a teoria de controle é bastante extensa mas a relação entre vários aspectos foi melhor estabelecida.

Assim, técnicas da frequência para sistemas multivariáveis foram desenvolvidas e a relação entre o domínio do tempo e da frequência melhor compreendidas.

O que é um sistema?

exemplos de sistemas em controle de sistemas

Na imagem acima inseri 3 exemplos de sistema: carro, robô e satélite, que são sistemas complexos; mas temos sistemas simples, como o chuveiro da nossa casa.

E como representamos um sistema? Através de um bloco. E ao definirmos nosso sistema, precisamos saber quais são as grandezas de interesse.

Por exemplo, se o sistema for um recipiente com água, as grandezas de interesse poderão ser o nível da água ou a temperatura dela. Para um forno, a grandeza de interesse é a temperatura.

Essas grandezas de interesse são as saídas do sistema. As entradas do sistema são as gradezas que acionam, atuam no sistema e afetam a saída. No exemplo do forno, a entrada é o fluxo de gás.

E precisamos definir como vamos atuar sobre o sistema para controlarmos a saída.

entradas e saídas em controle de sistemas

Em alguns casos não temos tanto controle sobre a entrada, como o vento em aeronaves. Outro exemplo: a temperatura ambiente é uma entrada difícil de controlar.

A saída do sistema “forno”, que é a temperatura desejada, será afetada pela temperatura ambiente.

O que fazemos em controle de sistemas é atenuar o efeito destas entradas, que, por serem de difícil tratamento, são chamadas de perturbações.

Sistema SISO

SISO é a abreviação de Single Input Single Output (entrada única, saída única). Nessa configuração, se o sistema tiver várias entradas e saídas, precisaremos escolher uma entrada e uma saída.

Assim, escolhemos a entrada que mais influencia a saída que nos interessa, escolhida como a saída única do sistema. Exemplos:

  • Num sistema de nível de água (saída), a entrada seria o fluxo de água.
  • Num sistema de temperatura da água (saída) a entrada seria o ajuste de um aquecedor.

Por simplificação, todos os sistemas sisos são representados como um bloco com uma entrada e uma saída. Neste artigo só serão abordados sistemas SISO.

Relação Entrada-Saída

A relação entrada-saída caracteriza o sistema, e pode ser direta ou oposta.

Se aumentarmos a quantidade de gás (⇑) no forno, a temperatura (⇑) aumentará. É um exemplo de relação direta.

Quanto mais força aplicada ao freio (⇑) do carro , mais rapidamente a velocidade (⇓) será reduzida. Essa é uma relação oposta.

Objetivo do controle de sistemas

controle de sistemas de som

O objetivo é modificar, de forma eficiente, o comportamento de um sistema.

Modificar o comportamento é alterar a relação entre a entrada e a saída de um sistema para atender requisitos de desempenho.

de forma eficiente” significa modificar com o mínimo de complexidade, custo e intervenção humana.

objetivo do controle de sistemas

Acompanhe a imagem acima enquanto lê a definição do objetivo do controle de sistemas.

Requisitos de desempenho

A relação entre a entrada e a saída do sistema precisa ter características específicas, de acordo com as funções que desejamos para o controle.

Também, requisitos de desempenho são as características de resposta do sistema para uma entrada específica deste sistema.

De forma mais objetiva, requisitos de desempenho são:

  • O que você deseja que o sistema faça.
  • Como você deseja que o sistema faça.

No geral, os requisitos estão associados a:

  • Velocidade de resposta do sistema: geralmente queremos que o sistema seja rápida, ou seja, que saída mude rapidamente assim que a entrada for alterada.
  • A presença ou não de oscilações: podemos tolerar uma variação em torno do valor que esperamos encontrar como resposta do sistema. De preferência que a oscilação (variação) seja temporária.
  • Quão bem a saída acompanha o valor desejado (valor de referência): naturalmente queremos que a saída do nosso sistema não fique por muito tempo fora do valor esperado.

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Referência e erro em controle de sistemas

erro em controle de sistemas

Para iniciar o sistema geralmente definimos o valor de entrada a partir da referência, que é aquilo que esperamos ter na saída.

E teremos um erro, que é a diferença entre o valor desejado (referência) e a saída. A notação matemática é usualmente a seguinte:

  • r(t) ⇒ referência
  • u(t) ⇒ entrada
  • y(t) ⇒ saída
  • e(t) ⇒ erro
  • (t) ⇒ significa que a grandeza varia ao longo do tempo

A fórmula para o erro é, então: e(t) = r(t) – y(t). Veja o exemplo abaixo.

Como exemplo, num forno à gás, temos:

  • Saída = Temperatura
  • Entrada = Fluxo de gás
  • Referência de exemplo: 180° (a temperatura que queremos para o forno)

O erro do sistema, nesse exemplo, é a diferença entre a temperatura desejada (referência) e temperatura real.

Assim, num dia frio, se ajustarmos o botão do forno para uma temperatura de 180° mas a temperatura medida for de 170°, o erro será de 10°.

forno em controle de sistemas

O erro costuma ser expressado em porcentagem. Assim, um erro de 5% no exemplo do forno, onde o valor que queremos é de 180°, significa que a saída medida terá entre 171° e 189°.

As duas faces do controle de sistemas

as duas faces do controle de sistemas

Análise e Projeto

Análise: verificar se o sistema atende aos requisitos de desempenho. Para isso, podemos testar o sistema. Porém, os testes exigem consumo de recursos físicos e tempo. Testar pode não ser a melhor opção.

Se o sistema atende aos requisitos de desempenho, não precisamos mudar nada. Mas se ao realizarmos a análise constatarmos que o sistema não atende aos requisitos, vamos precisar alterar o desempenho do sistema ou alterar a relação entrada-saída.

É nessa etapa de alterações que entra o Controle, que usamos para fazer as alterações citadas acima. E aqui surge o segundo item do título deste tópico:

Projeto, que usamos para definir e formar o Controle.

Controle consiste na:

  • Modificação do comportamento do sistema ou na,
  • Alteração da relação entrada-saída, de forma que a nova relação passe a atender requisitos de desempenho que o sistema não atenderia naturalmente.

Esse controle pode ser realizado em malha aberta ou em malha fechada.

Controle de sistemas em malha aberta

malha aberta em controle de sistemas

No controle de sistemas em malha aberta a entrada é ajustada considerando apenas a referência. Não há preocupação em verificar se a saída está indo para o valor desejado.

Se tudo correr como o planejado, teremos a saída desejada. Se ocorre algo diferente do que previmos, teremos um problema.

Um Sistema de Controle em Malha Aberta (SCMA) utiliza um controlador conectado em série com o processo a ser controlado, de modo que a entrada do processo deve ser tal que sua saída se comportará como desejado. A característica importante é que a ação de controle independe da saída.

Controle de sistemas em malha fechada

controle de sistemas em malha fechada
Controle em malha fechada também é chamado de controle com realimentação.

No controle de sistemas em malha fechada a saída é medida e o resultado levado ao comparador. Depois, a comparação com a referência é feita e o sinal de erro é encontrado.

Esse sinal de erro é enviado ao bloco controlador, que vai ajustar a entrada do sistema. Veja que, com a comparação, a entrada estará automaticamente próxima do valor (referência) que esperamos encontrar na saída. Diferente do que ocorre malha aberta.

Um Sistema de Controle em Malha Fechada (SCMF) utiliza uma medida adicional da saída (resposta) real a fim de compará-la com a resposta desejada do sistema.

Assim, a entrada depende da referência e da saída (através do sinal de erro). Na imagem acima, esse retorno do sinal de saída através do bloco medidor é conhecido como realimentação.

Resumindo, projetar é determinar como o bloco de ajuste vai funcionar.

Apesar de o conceito de sistema de controle em malha aberta seja usado, sistemas de controle reais são essencialmente de malha fechada. Isto leva à definição geral de sistemas de controle:

É um sistema que tende a manter uma relação pré-estabelecida entre duas variáveis do sistema através da comparação de funções destas variáveis e utilizando a diferença como meio de controle.

Ao olhar o velocímetro do carro e pisar no acelerador para ajustar a velocidade para a desejada, o motorista realiza o controle em malha fechada da velocidade do veículo. O motorista enxerga o erro e faz o ajuste.

Definições importantes:

  • Comparador: dispositivo que constrói o sinal de erro entre o valor desejado e o obtido.
  • Controlador: dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que ser aplicado no sistema, afim de corrigir a variável a ser controlada.
  • Sistema: dispositivo ou fenômeno que se deseja operar com alguma finalidade (objetivo de controle). Um sistema é representado por uma variável de entrada (controle), uma de saída (controlada) e uma relação (função de transferência) entre elas.
  • Medidor (transdutor): dispositivo responsável pela medição e conversão da variável a ser controlada para fins de comparação e obtenção do erro de saída.

Noções de modelos matemáticos em controle de sistemas

matemática em controle de sistemas

Quando analisamos um sistema, pode ser necessário projetar um controlador para ele.

Para realizar esta análise e este projeto sem gastar recursos desnecessariamente e sem correr riscos, podemos usar modelos matemáticos.

Um modelo é uma representação econômica da realidade.

Então, modelos matemáticos são uma representação econômica da realidade na forma de equações matemáticas.

Para fins de controle de sistemas, o modelo matemático pode ser constituído de equações diferenciais. Estas equações podem ser obtidas a partir de leis físicas que modelam o comportamento do sistema e de seus componentes.

Agora você verá um exemplo de como obter a equação diferencial de um sistema eletromecânico rotacional.

Esse sistema é formado por um motor elétrico ligado ao eixo de uma carga mecânica que deve ser girada. A saída desse sistema será a velocidade de rotação. Circuito:

modelo de controle de sistemas

Esse é um modelo simplificado de vários sistemas de direcionamento e apontamento, como um radar ou um braço robótico.

Equações

Parte elétrica:

equações elétricas em controle de sistemas

Acompanhe o circuito anterior para entender melhor a equação para u, da Lei de Kirchoff das malhas. As outras equações são as fórmulas já conhecidas.

Por simplificação, o k será o mesmo nas equações do Torque e da Tensão no motor.

Assim, a tensão no motor é a constante vezes a velocidade de rotação do motor. E o torque é a constante vezes a corrente, como mostrado na imagem acima. São equações que ligam os mundos elétrico e mecânico.

Parte mecânica:

equações mecânicas em controle de sisemas

Como o modelo é simplificado, só temos o torque do motor, então a equação do torque é a que aparece à direita da seta na imagem acima.

Veja que o y é a velocidade angular, mas o y com o ponto encima é a notação para a derivada da velocidade angular. Essa derivada é a aceleração angular.

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função  y = f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Partes elétrica e mecânica

desenvolvendo equações em controle de sistemas

Agora com essa fórmula da corrente elétrica que contém elementos mecânicos, vamos encontrar as equações das tensões no circuito, para o resistor e o indutor.

Para isso, basta substituir esta equação da corrente nas equações do resistor e do indutor, mostradas antes. Teremos:

tensão em controle de sistemas

Agora, substituímos as tensões nas equação geral do circuito (equação de malha):

Uma equação que modela um controle de sistemas usando um motor.

Com isso chegamos ao modelo matemático simples do circuito com o motor, mostrado no começo, do nosso exemplo de controle de sistemas.

Veja que unimos o mundo elétrico ao mecânico, já que a equação possuiu elementos como resistência, indutância, momento de inércia e a constante do motor.

Conclusão: controle de sistemas não é trivial.

esteiras para controle de sistemas

Se você quiser atuar em projetos de controle de sistemas, não dá para fugir dos modelos matemáticos.

É muito legal ver robôs falando, andando e fazendo as mais variadas atividades, com alguma inteligência artificial.

Você pode montar modelos mecatrônicos, brincar com eles. É o que mais vemos na internet, em vídeos e imagens. O arduíno é muito utilizado para isso.

Porém, se você quiser realmente saber como eles funcionam em essência, vai precisar entender a matemática da modelagem, que não é trivial para a grande maioria das pessoas.

O que você viu neste artigo foi só uma pincelada nos conceitos gerais, incluindo um modelo matemático bem simplificado.

Se matemática não for “sua praia”, lamento informar que você vai ter de se contentar em montar robôs e outros, sem entender de fato como tudo é criado e funciona, e menos ainda projetar controle de sistemas.

Pegar algo pronto e montar não é o mesmo que projetar. Tenha isso em mente.