Como o princípio da dualidade pode reduzir seu trabalho ao projetar circuitos elétricos.

Circuitos duais reduzem muito o seu esforço para encontrar equações que descrevem o funcionamento de circuitos elétricos.

Sem conhecer esse princípio você vai continuar resolvendo circuitos elétricos para encontrar as soluções de circuitos duais, porém o seu esforço será maior.

Então pratique bastante com exercícios e veja como fica mais fácil. Até sua visão dos circuitos será melhorada, o que vai agilizar seu raciocínio sobre os tipos de ligações.

Depois de praticar bastante você nem vai mais precisar aplicar o método manualmente. Será automático só de olhar o circuito. E a sensação será muito agradável.

Nesse ponto, resolver circuitos será um passatempo – ok, talvez eu esteja exagerando, mas como um fã de jogos acabo vendo praticamente tudo com elementos de jogos.

Mas é praticamente um passatempo mesmo, porque até quem não sabe circuitos elétricos poderá aplicar o método.

Para entender o que vou explicar aqui você vai precisar saber o que são circuitos série e paralelo. É muito simples e já largamente abordado pela internet.

Também quero deixar claro que não é um artigo para explicar como encontrar as equações que serão mostradas.

O objetivo é comentar sobre dualidade e explicar o método. Continue lendo para conhecer os seguintes conceitos e definições sobre dualidade e circuitos duais:

  • Definições
  • Conceitos importantes
  • O princípio da dualidade em circuitos duais
  • Circuitos duais só em circuito planar
  • Método para encontrar circuitos duais
  • Série vira paralelo e vice-versa
  • Cortar caminho em fórmulas

Algumas definições antes de entrar em circuitos duais

Circuitos duais - dualidade em vida
Dualidade: dois lados da vida, bem e mal.

E por que chamar de circuitos duais? Por que do nome dualidade? Esses termos são usados em circuitos elétricos…

Eu considero importante conhecer os significados, pois assim entendemos com mais facilidade, e não apenas aceitamos o conceito. Aceitar é diferente de entender.

Você pode ser daqueles que só querem saber como resolver o cálculo, sem interessar os nomes. A dificuldade em entender conceitos de exatas está ligada à dificuldade com o idioma.

O que é o “dual” dos circuitos duais?

Dual significa que é relativo a dois. É um adjetivo que qualifica aquilo que é composto de duas partes.

Dual é um número gramatical que em certas línguas, como no grego, indica duas pessoas ou duas coisas, e que na língua portuguesa é expressado na palavra “ambos”.

Então, só de ler essa definição, podemos concluir que em circuitos elétricos teremos dois elementos que se relacionam, para formar essa dupla, esse “dual”.

Em circuitos duais teremos dois circuitos, com duas equações (uma para cada circuito). Continue lendo para ver explicações mais detalhadas.

O que é Dualidade:

Dualidade é a propriedade do que é duplo, dual, ou que contém em si duas naturezas, dois princípios. Dualidade também possui significados na área da física, da matemática e da filosofia.

Conceitos importantes para começar…

Nesse tópico você verá uma pincelada de alguns conceitos importantes para entender o quê será mostrado. Você pode pular se já souber.

Circuitos série e paralelo

circuitos duais-sérieSérie: os componentes só tem 1 ponto de ligação em comum. A mesma corrente passa por eles.

 

Circuitos duais - paralelo

Paralelo: os componentes possuem 2 pontos de ligação entre si. Na figura ao lado, a corrente que entra no circuito será dividida entre R1 e R2 (se só esses dois resistores estiverem presentes)

 

Fórmulas do capacitor e do indutor

circuitos duais - corrente e tensão no capacitor

circuitos duais - fórmulas de tensão e corrente no indutor

Equações de malha e equações nodais

  • é o ponto comum de 3 ou mais ramos de um circuito. Um ramo possui 1 ou mais componentes elétricos.
  • Malha é um circuito fechado, com vários componentes elétricos.

Uma equação de malha descreve um circuito fechado. Ela contém as expressões matemáticas de cada componente dentro da malha.

Uma equação nodal mostra as expressões matemáticas dos componentes presentes no caminho que vai desse nó até o ponto de referência do circuito (zero volt).

O princípio em circuitos duais

Circuitos duais-Elementos duais
Elementos duais em circuitos.

O princípio da dualidade estabelece um paralelismo entre pares de equações características e teoremas de circuitos elétricos.

Paralelismo é o nome que damos à organização de ideias e expressões de estrutura idêntica.

Dessas duas definições concluímos que no princípio da dualidade temos estrutura idêntica entre pares de equações e teoremas.

Isso significa que para cada par de equações temos a associação correspondente de teoremas.

Assim, se todas as palavras forem substituídas pelas suas duais, as propriedades e teoremas da análise de circuitos permanecerão válidas.

E essas palavras são as que aparecem na tabela acima, com os elementos duais.

Exemplo: o dual do Teorema de Thévenin é o Teorema de Norton. Vejamos como ficam as substituições das palavras nesses Teoremas:

  • Teorema de Thévenin: um circuito com dois terminais pode ser substituído pela sua tensão de circuito aberto em série com o circuito em repouso.
  • Teorema de Norton: um circuito com dois terminais pode ser substituído pela sua corrente de curto-circuito em paralelo com o circuito em repouso.

As palavras em negrito estão na tabela acima. São os elementos duais.

Algumas vezes dois circuitos diferentes possuem as mesmas equações e soluções, só mudando os símbolos dos elementos complementares. Veja isso mais adiante, nas equações.

Essa possibilidade de poder trocar os símbolos em equações de circuitos diferentes é conhecida como princípio da dualidade.

Exemplo com equações

Circuitos duais - equações

Acima está um circuito e suas equações de malha, com as correntes i1 e i2, que serão substituídas pelas tensões v1 e v2, das equações nodais do circuito dual.

Circuitos duais - equação dual

Perceba que o capacitor de 8F virou o indutor de 8H; o indutor de 4H virou o capacitor de 4F. O resistor de virou a condutância de 5S (siemens) ou 0,5Ω (σ = 1/R).

Nó e Malha são duais. O primeiro circuito tem equações de malha, então o segundo circuito, que é o dual, tem equações nodais.

Reveja a tabela acima com as grandezas duais para você confirmar as trocas. Você deve estar se perguntando porque o circuito dual está curvado, acertei? Continue lendo para entender e ver mais detalhes sobre esse tópico.


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Circuitos duais só em circuito planar

circuitos duais só em circuitos planares
Circuitos a e c são planares.

Circuito planar é aquele que ao desenharmos o seu diagrama em uma superfície plana nenhum ramo passa por cima ou por baixo de outro ramo.

O circuito (c) acima é planar porque não existe ligação () do resistor do ramo curvo com o resistor do ramo interno.

Assim podemos ligar esse resistor como o resistor do circuito (b), isto é, externamente, e os ramos vão continuar sem passar por cima ou por baixo do outro. Veja na imagem abaixo:

Circuitos duais com circuitos planares

No circuito (b) não é possível rearranjar os componentes de tal forma que nenhum ramo passe por cima ou por baixo do outro. Então esse circuito não é planar.

Esse conceito é importante aqui porque o princípio da dualidade está limitado a circuitos planares. Circuitos não planares não podem ser descritos por um sistema de equações de malha, então não possuem duais.

Todos os circuitos planares possuem um dual único.

 

Método para encontrar circuitos duais

Exemplo do método para encontrar circuitos duais

Não se preocupe com o circuito acima. Nas próximas linhas você vai entender como montar o dual e porque ele tem essas formas desenhadas no circuito.

Neste método vamos usar uma técnica gráfica para encontrar circuitos duais, sem precisar escrever as equações.

São 3 etapas para construir o dual:

1 – Inserir o nó no centro de cada malha. Colocar o nó de referência do circuito dual fora do circuito original.

Circuitos duais - Etapa 1

2 – Desenhar linhas entre os nós fazendo com que cada linha cruze um componente (incluindo chaves). Em seguida, substituir esse componente pelo seu dual – olhando a tabela mais acima, dos duais.

Circuitos duais - Etapa 2

3 – Determinar a polaridade das fontes de tensão e o sentido das fontes de corrente, com a seguinte regra:

Se a fonte de tensão produz uma corrente de malha positiva (sentido horário), então o seu dual, que é a fonte de corrente, vai apontar para o sentido oposto ao do nó de referência.

A cauda da seta do símbolo da fonte de corrente vai começar no nó de referência. Então se o nó de referência estiver na parte de baixo do circuito, a seta vai apontar para cima. Veja:

Método-circuitos duais

Para confirmar se a aplicação do método deu certo, você pode escrever as equações de nós ou equações de malhas do circuito.

Série vira paralelo e vice-versa

Agora é muito importante você perceber, olhando o circuito, que a parte em série vai ser transformada em circuito em paralelo, e vice-versa. Acompanha as imagens:
Circuitos duais - série vira paralelo

Correção: na verdade viraram 2 duais em paralelo, porque a chave não é dual.

Circuitos duais-paralelo vira série

É assim que você tem que enxergar os circuitos. Comece já identificando as ligações em série e em paralelo, pois isso vai ajudar a aplicar o método e verificar se está correto.

Cortar caminho em fórmulas

Fórmulas em circuitos duais

Lembra das fórmulas de tensão e corrente do indutor e do capacitor que eu inseri antes? Depois de ler tudo até aqui, volte lá e veja se você percebe algo. Melhor, vou repetir aqui:

circuitos duais - fórmulas de tensão e corrente no indutor circuitos duais - corrente e tensão no capacitor

Percebeu? São duais! Isso é muito poderoso, porque você só precisa saber as fórmulas de um deles, capacitor ou indutor.

Assim, se você “gravou” as fórmulas do capacitor, basta substituir os elementos duais na fórmula, de acordo com a tabela, para encontrar as fórmulas do indutor.

Energia-capacitor-circuitos duais

Lembra da fórmula da energia do capacitor? É essa bem aqui ao lado esquerdo.

Agora adivinha qual é a fórmula para o indutor? Substitua os elementos duais e você vai encontrar.

Conclusão sobre circuitos duais:

Vamos lembrar desse importante conceito, agora com outra definição:

Dois circuitos são duais se as equações de malha de um deles tem a mesma forma matemática das equações nodais do outro.

Serão duais exatos se as equações de malha de um circuito forem numericamente idênticas às equações nodais do outro circuito.

Mas não basta só ler, você precisa praticar. Assim, dúvidas vão surgir e você vai aprimorar cada vez mais sua visão, tornando cada vez mais fácil resolver circuitos duais.

E é sim como eu escrevi no começo: com muita prática isso vai virar um passatempo, um jogo, e será até legal aplicar a técnica gráfica para encontrar circuitos duais.